Abaixo ficam as soluções do quiz de matemática com sabor a Natal publicado a 23 de dezembro. A ideia, como sempre, é menos “fazer contas” e mais treinar estratégias: dividir e conquistar, trabalhar com invariantes, detectar padrões e, sobretudo, justificar cada passo com lógica clara.
Uma nota extra: muitos destes enigmas matemáticos de Natal admitem variações (e, por vezes, várias soluções). Ainda assim, nas propostas seguintes mantive o espírito do desafio: chegar ao resultado com o mínimo de tentativas e sem recorrer a “truques” fora das regras.
Enigma 1 - A balança e as nove moedas de ouro
Problema: Tens nove moedas de ouro indistinguíveis. Sabes que uma é falsa e que a moeda falsa pesa menos do que as verdadeiras. Usando uma balança de pratos (daquelas antigas), qual é o menor número de pesagens necessário para descobrir qual é a falsa?
Solução: Dá para resolver com apenas duas pesagens.
1) Separar em três grupos iguais.
Divide as 9 moedas em 3 conjuntos de 3. Pesa dois conjuntos um contra o outro.
- Se um lado ficar mais leve, a falsa está nesse trio.
- Se houver equilíbrio, então a falsa está no trio que não foi pesado.
2) Identificar dentro do trio certo.
Com o conjunto de 3 onde está a falsa, pesa duas moedas entre si.
- Se uma ficar mais leve, essa é a falsa.
- Se ficarem iguais, a falsa é a terceira moeda (a que não foi pesada).
Enigma 2 - Dois temporizadores (4 min e 7 min) para marcar 10 minutos
Problema: Voltaste no tempo para ajudar a preparar a ceia de Natal. Tens de cozer uma tarte, mas só há dois relógios de areia: um mede 4 minutos e outro mede 7 minutos. Como marcas 10 minutos certos?
Solução: Há mais do que uma forma, mas se a prioridade for que a tarte entre no forno o mais cedo possível, uma forma eficiente é esta:
- Inicia os dois temporizadores ao mesmo tempo.
- Quando o de 4 minutos terminar, o de 7 minutos terá 3 minutos por correr. Nesse instante, coloca a tarte no forno.
- Quando esses 3 minutos do temporizador de 7 acabarem, vira imediatamente o temporizador de 7 minutos.
- Deixa-o correr os 7 minutos completos e tira a tarte logo a seguir.
Assim, a tarte esteve no forno durante 3 + 7 = 10 minutos, exatamente.
Enigma 3 - Vinho quente: duas pipas de 10 L e garrafas de 5 L e 4 L (3 L em cada)
Problema: Tens de distribuir vinho quente que está em duas pipas de 10 litros, ambas cheias. O cozinheiro dá-te duas garrafas vazias: uma de 5 litros e outra de 4 litros. Sem desperdiçar uma gota, tens de deixar 3 litros em cada garrafa. Como fazer?
Solução: Segue uma solução em 11 passos, registando quanto vinho há em cada recipiente.
- B1 e B2: as duas pipas de 10 L
- g5: garrafa de 5 L
- g4: garrafa de 4 L
Observação: é possível que exista uma solução mais curta; esta cumpre o objetivo respeitando a regra de não desperdiçar vinho.
| Passo | Ação | B1 (10 L) | B2 (10 L) | g5 (5 L) | g4 (4 L) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Estado inicial | 10 | 10 | 0 | 0 |
| 1 | Encher g5 a partir de B1 | 5 | 10 | 5 | 0 |
| 2 | Verter g5 → g4 até g4 encher | 5 | 10 | 1 | 4 |
| 3 | Verter g4 → B1 (B1 tinha espaço) | 9 | 10 | 1 | 0 |
| 4 | Verter g5 → g4 (esvazia g5) | 9 | 10 | 0 | 1 |
| 5 | Encher g5 a partir de B2 | 9 | 5 | 5 | 1 |
| 6 | Verter g5 → g4 até g4 encher | 9 | 5 | 2 | 4 |
| 7 | Verter g4 → B2 (B2 tinha espaço) | 9 | 9 | 2 | 0 |
| 8 | Verter g5 → g4 (esvazia g5) | 9 | 9 | 0 | 2 |
| 9 | Encher g5 a partir de B2 | 9 | 4 | 5 | 2 |
| 10 | Verter g5 → g4 até g4 encher | 9 | 4 | 3 | 4 |
| 11 | Verter g4 → B1 até B1 encher (entra só 1 L) | 10 | 4 | 3 | 3 |
No fim, ficas com 3 L na garrafa de 5 L e 3 L na garrafa de 4 L, sem derramar vinho.
Enigma 4 - A soma de Gauss no quiz de matemática de Natal (100 dias)
Problema: Imagina que existem 100 dias de Natal. No dia n, recebes n €, desde 1 € no primeiro dia até 100 € no último. Como calculas o total recebido sem somar um a um os 100 valores?
Solução: Conta-se que Carl Friedrich Gauss resolveu isto assim, ainda em criança.
Seja s a soma dos primeiros 100 números: - ( s = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 99 + 100 )
Escrevendo a mesma soma ao contrário: - ( s = 100 + 99 + 98 + \dots + 4 + 3 + 2 + 1 )
Somando termo a termo:
- Do lado esquerdo, fica ( s + s = 2s )
- Do lado direito, cada par soma sempre o mesmo: 101
(1+100, 2+99, 3+98, etc.)
Como há 100 termos, o total do lado direito é: - ( 100 \times 101 = 10\,100 )
Logo: - ( 2s = 10\,100 \Rightarrow s = 5\,050 )
Portanto, ao longo dos 100 dias recebes 5 050 €.
Enigma 5 - Uma sequência natalícia (padrão escondido)
Problema: Eis uma sequência “com cheirinho a Natal”. Os primeiros seis termos são:
9, 11, 10, 12, 9, 5 …
(Nota: em algumas versões, o quinto termo é 11.) Qual é o próximo número?
Solução: O padrão é este: os valores representam o número de letras (na designação tradicional em inglês, sem contar espaços) de cada presente recebido ao longo dos 12 dias de Natal. Assim, o número seguinte é 5, correspondente ao presente do dia seguinte (os cisnes).
Lista completa dos presentes (descritos aqui em português) com os números associados a essa contagem: - perdiz (9) - rolas (11) - galinhas francesas (10) - pássaros cantores (12) - anéis de ouro (9 - ou 11 se, na canção, se usar uma forma “mais longa” para “de ouro”) - gansos (5) - cisnes (5) - criadas (5) - senhoras (6) - lordes (5) - gaiteiros (6) - tamborileiros (8)
Nota: pode parecer pouco “matemático”, mas matemática (e, num sentido mais amplo, pensamento crítico e criativo) depende muito de reconhecer padrões que, ao início, parecem frágeis. Durante a Segunda Guerra Mundial, o recrutamento para o centro aliado de decifração de códigos em Bletchley Park incluía, em parte, a capacidade de resolver palavras cruzadas crípticas.
Enigma 6 - 100 afirmações, só uma verdadeira
Problema: Qual destas 100 frases é a única verdadeira?
- “Exatamente 1 afirmação nesta lista é falsa.”
- “Exatamente 2 afirmações nesta lista são falsas.”
- …
- “Exatamente 99 afirmações nesta lista são falsas.”
- “Exatamente 100 afirmações nesta lista são falsas.”
Solução: A única verdadeira é a 99.ª afirmação.
Há 100 frases, e a frase n declara que existem exatamente n frases falsas. Para isso acontecer, teria de haver exatamente 99 falsas, o que implica que existe exatamente 1 verdadeira - precisamente a que diz “99 são falsas”. É o único valor consistente.
Enigma 7 - Três gorros (vermelho ou verde) e lógica impecável
Problema: Tu e os teus amigos, Artur e Bob, usam gorros de Natal que podem ser vermelhos ou verdes. Ninguém vê o próprio gorro, mas cada um vê os outros dois. Sabes que os gorros de Artur e Bob são ambos vermelhos.
Dizem-vos ainda que pelo menos um gorro é vermelho.
Artur afirma: “Não sei a cor do meu gorro.”
Depois Bob diz: “Não sei a cor do meu gorro.”
Assumindo lógica perfeita, consegues concluir a cor do teu gorro?
Solução: O teu gorro tem de ser vermelho.
Raciocínio: - Se o teu gorro fosse verde, então Artur veria (verde + vermelho). Nesse cenário, quando Artur diz que não sabe a sua cor, Bob conseguiria logo concluir que o gorro dele (Bob) tinha de ser vermelho. - Mas Bob também declara que não sabe. Isso só faz sentido se Bob estiver a ver dois gorros vermelhos (o do Artur e o teu). - Portanto, o teu gorro é vermelho.
Enigma 8 - Três caixas com rótulos errados (presente e carvão)
Problema: Há três caixas sob a árvore. - uma tem dois presentes pequenos - uma tem dois pedaços de carvão - uma tem um presente pequeno e um pedaço de carvão
Cada caixa tem um rótulo - mas os rótulos foram trocados e todas as caixas estão atualmente com o rótulo errado.
Só podes tirar um objeto de uma caixa. Qual escolhes, para depois conseguires corrigir todos os rótulos?
Solução: Deves escolher a caixa que está rotulada como “um presente pequeno e um pedaço de carvão”.
Como todos os rótulos estão errados, essa caixa não pode conter uma mistura. Logo, ao tirar um objeto de lá, ficas a saber se ela tem: - dois presentes, ou - dois carvões
Exemplo: se ao tirar um objeto vires que é um presente, então essa caixa só pode ter dois presentes.
A partir daí, a troca dos restantes rótulos é forçada:
- o rótulo “dois presentes” passa para esta caixa;
- como o rótulo “mistura” não pode estar onde diz “dois carvões” (porque estava errado), o rótulo “mistura” vai para a caixa atualmente rotulada “dois carvões”;
- o rótulo “dois carvões” fica, por exclusão, na caixa que estava rotulada “dois presentes”.
Enigma 9 - Sumo de laranja e sumo de maçã (quem “fica com mais”?)
Problema: Há uma garrafa de 1 litro de sumo de laranja e uma garrafa de 1 litro de sumo de maçã. O João coloca uma colher de sopa de sumo de laranja na garrafa de sumo de maçã e mistura bem. Depois, a Joana tira uma colher de sopa da garrafa (agora misturada) e deita-a de volta na garrafa de laranja.
No fim, há mais sumo de laranja na garrafa de maçã ou mais sumo de maçã na garrafa de laranja?
Solução: As quantidades são iguais.
Este é um bom exemplo de invariância, uma ideia recorrente em matemática. Apesar das transferências e das misturas: - cada garrafa continua a ter 1 litro (essa quantidade manteve-se invariável).
Logo, a quantidade de sumo de laranja que “entrou” na garrafa de maçã tem de ter substituído exatamente a mesma quantidade de sumo de maçã que “saiu” para a garrafa de laranja. Sem fazer contas, conclui-se que os volumes trocados acabam por ser iguais.
É normal esta justificação parecer estranha à primeira leitura - mas é precisamente aqui que a invariância brilha: permite concluir o resultado sem cálculo detalhado.
Enigma 10 - Notas do Pai Natal e a regra “se… então…”
Problema: Na terra natal do Pai Natal, todas as notas mostram, de um lado, Pai Natal ou Mãe Natal, e do outro lado, presente ou rena. Um duende coloca quatro notas em cima da mesa, com as seguintes faces visíveis (nesta ordem):
Pai Natal | Mãe Natal | Presente | Rena
Um duende mais velho diz: “Se numa face estiver o Pai Natal, então na outra face tem de estar um presente.”
Que notas é preciso virar para confirmar se esta regra é verdadeira?
Solução: Tens de virar:
1) a nota que mostra Pai Natal (para verificar se do outro lado está mesmo presente);
2) a nota que mostra Rena (para confirmar que do outro lado não está o Pai Natal).
Se, ao virar a nota “Rena”, aparecer o Pai Natal, a regra “se Pai Natal, então presente” seria violada (porque haveria Pai Natal com rena do outro lado).
Pode parecer intuitivo virar a nota “Presente”, mas a regra é unilateral: “se Pai Natal, então presente” não significa “se presente, então Pai Natal”. Por isso, a nota “Presente” não é relevante para testar a afirmação. O mesmo acontece com a nota “Mãe Natal”: a regra não diz nada sobre ela.
Solução do enigma bónus - Velocidade média na viagem do Pai Natal
Problema: O Pai Natal viaja de trenó da Gronelândia ao Polo Norte a 48,28032 km/h (equivalente a 30 milhas por hora) e regressa imediatamente do Polo Norte à Gronelândia a 64,37376 km/h (equivalente a 40 milhas por hora). Qual é a velocidade média de toda a viagem?
Solução: Este enigma encaixa bem na distinção popularizada pelo psicólogo Daniel Kahneman entre pensar depressa e pensar devagar. O “instinto” pode sugerir fazer a média simples e responder “cerca de 56,3 km/h”, mas isso está errado.
Aqui é preciso o raciocínio mais cuidadoso. Definimos:
- d: distância (em km) entre a Gronelândia e o Polo Norte
- t₁: tempo da ida
- t₂: tempo da volta
Pela relação velocidade = distância / tempo: - ( 48{,}28032 = \dfrac{d}{t1} \Rightarrow t1 = \dfrac{d}{48{,}28032} ) - ( 64{,}37376 = \dfrac{d}{t2} \Rightarrow t2 = \dfrac{d}{64{,}37376} )
A distância total é 2d e o tempo total é t₁ + t₂, logo a velocidade média é: - ( \dfrac{2d}{t1 + t2} = \dfrac{2d}{\dfrac{d}{48{,}28032} + \dfrac{d}{64{,}37376}} )
O d cancela, o que permite resolver sem saber a distância real: - ( \text{velocidade média} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{48{,}28032} + \dfrac{1}{64{,}37376}} \approx 55{,}17 )
Portanto, a velocidade média é aproximadamente 55,17 km/h.
Neil Saunders, professor sénior de Matemática, Departamento de Ciências Matemáticas, City St George’s, Universidade de Londres
Este artigo é republicado de The Conversation ao abrigo de uma licença Creative Commons. Leia o artigo original.
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